几个高数问题1.中间挖个洞的复连通区域,为什么在两个边界间加一条辅助线,就变成单连通区域了?2.区域D上任取两点A,B,以A为起点,B为终点,任做两条简单曲线,这两条曲线分段光滑,为什么它们

Question

几个高数问题
1.中间挖个洞的复连通区域,为什么在两个边界间加一条辅助线,就变成单连通区域了?
2.区域D上任取两点A,B,以A为起点,B为终点,任做两条简单曲线,这两条曲线分段光滑,为什么它们未必组成一条简单的闭曲线?闭曲线的定义是什么呢?
3.对于方向导数,在确定点沿X轴正向和负向的偏导数差一个负号.如果是平面的情况,导数就不差负号了,
4.方向导数,偏导数,梯度如何理解?
5.Z（x,y）所有二阶偏导数都连续,且
Z""(x)=Z""(y);(Z""(x)代表对x求二阶导,同理Z""（y））
Z(x,2x)=x;
Z"(x,2x)=x^2;(Z"(x)代表对x求一阶导）
求Z(x,2x)的四个二阶导数!
问题比较多,达人请不吝赐教!
在此谢过了!

Answer 1

1、那个其实不是加了一条辅助环线,还在两条环形线之间加了连接两条环线的重合路径,这样以来两个闭合环线就分为洞两侧的两条单连通区域内的闭合环线了,而且那两条重合路径上的两次线积分的方向相反是可以互相抵消的.
2、由于不能保证复变函数在区域D上解析,因此不能保证组成简单闭曲线.
3、这个是你的误解.平面的情况下正方向和负方向的方向导数还是差一个负号的,肯定是你计算出错了.
4、方向导数是数值函数在沿特定方向的导数,偏导数是数值函数沿三个坐标轴正方向的导数.梯度是一个矢量,可以衡量数值函数在所有方向上的变化情况,大小是数值函数三个偏导数乘以各自对应的方向矢量,与方向导数密切相关.
5、为了方便以下用Zx表示Z关于x的一阶偏导数,Zy表示Z关于y的一阶偏导数,Zxx表示Z关于x的二阶偏导数,Zyy表示Z关于y的二阶偏导数,Zxy和Zyx表示Z关于x和y的二阶混合偏导数. 于是题目的条件可以写成 Zxx=Zyy ,Z（x,2x）=x ,Zx（x,2x）= x^2
为了求出 Z的四个二阶偏导数可以采用以下步骤：
（1）将Z（x,2x）对x求全导数,即dZ/dx=Zx+Zy*(dy/dx)=Zx+2Zy=dx/dx=1
又知道Zx=x^2 ,于是得 Zy=（1-x^2)/2
(2)将Z关于x的偏导数Zx对x求全导数,即 dZx/dx=Zxx+Zxy*(dy/dx)=Zxx+2Zxy=dx^2/dx=2x
(3)将Z关于y的偏导数Zy对y求全导数,即 dZy/dx=Zyx+Zyy*(dy/dx)=Zyx+2Zyy=d(1-x^2)/2dx=-x
(4)Zxy=Zyx ,Zxx=Zyy 因此 Zxx=Zyy=-4x/3 ,Zxy=Zyx=5x/3