微分方程在过原点和2,3点的单调光滑曲线上任取一点,做两坐标轴的平行线,其中一条与x轴及曲线围成的面积是另一平行线与y轴及曲线围成面积的两倍,求此曲线方程.

Question

微分方程
在过原点和2,3点的单调光滑曲线上任取一点,做两坐标轴的平行线,其中一条与x轴及曲线围成的面积是另一平行线与y轴及曲线围成面积的两倍,求此曲线方程.

Answer 1

曲线过(0,0) (2,3)即f(0)=0,f(2)=3,显然单调递增,在第一象限
过某点(x0,f(x0)),做平行线x=x0,y=f(x0)
这两段面积加起来是x0*f(x0)
x=x0,y=0,y=f(x)三者围成的面积为
S=∫(0,x0) f(x)dx
另一段的面积即为x0*f(x0)-S
可得
2*(x0*f(x0)-S)=S即3S=2x0*f(x0)
两侧对x0求导
3f(x0)=2f(x0)+2x0*f'(x0)
即f(x0)=2x0f'(x0),f=2x*df/dx
可得 2df/f=dx/x,即lnf(x)=1/2*lnx+C
f(x)=sqrt(x)*e^C
代入常数f(0)=0,f(2)=3得到sqrt(2)*e^C=3,e^C=3/sqrt(2)
f(x)=3*sqrt(x/2)