用数学归纳法证明~~~是否存在常数a,b.使1*n+2(n-1)+3(n-2)+...+(n-2)3+(n-1)2+n*1=1/6*(n+a)(n+b)对一切正整数n都成立？并证明。希望能够解答的详细点，把思路什么的都解答出来，方法多一点更好，谢谢

Question

用数学归纳法证明~~~
是否存在常数a,b.使1*n+2(n-1)+3(n-2)+...+(n-2)3+(n-1)2+n*1=1/6*(n+a)(n+b)对一切正整数n都成立？并证明。
希望能够解答的详细点，把思路什么的都解答出来，方法多一点更好，谢谢！

Answer 1

1/6*(n+a)(n+b)疑似漏了一个 n？
设存在常数a,b.使1*n+2(n-1)+3(n-2)+...+(n-2)3+(n-1)2+n*1=1/6*n(n+a)(n+b)对一切正整数n都成立,
则n=1时,1*1=1/6*1(1+a)(1+b),(1+a)(1+b)=6,
n=1时,1*2+2*1=1/6*2(2+a)(2+b),(2+a)(2+b)=12,
解得a=1,b=2或a=2,b=1,两组解对应的公式是相同的，
下面用数学归纳法证明1*n+2(n-1)+3(n-2)+...+(n-2)3+(n-1)2+n*1=1/6*n(n+1)(n+2)对一切正整数n都成立:
由上面求a,b的过程，已知n=1时公式成立。
设n=k时，公式成立，即
1*k+2(k-1)+3(k-2)+...+(k-2)3+(k-1)2+k*1=1/6*k(k+1)(k+2).
已知1+2+...+(k-1)+k+(k+1)=1/2*(k+1)(k+2)
两式相加，得
[1*k+1]+[2(k-1)+2]+...+[(k-1)2+(k-1)]+[k*1+k]+(k+1)=1/6*k(k+1)(k+2)+1/2(k+1)(k+2),
1*(k+1)+2*k+...+(k-1)3+k*2+(k+1)*1=1/6*(k+1)(k+2)(k+3),
此式正表示n=k+1时，公式成立，所以公式对一切正整数n都成立。