用数学归纳法证明：1+（n/2)≤1+(1/2)+(1/3)+······+(1/2^n)≤(1/2)+n,（n∈正整数）

Question

用数学归纳法证明：1+（n/2)≤1+(1/2)+(1/3)+······+(1/2^n)≤(1/2)+n,（n∈正整数）

Answer 1

先代入N=1的情况,有1+1/2=1+1/2=1/2+1,即当N=1时,1+（n/2)≤1+(1/2)+(1/3)+······+(1/2^n)≤(1/2)+n成立,现在假设当N=k时{k∈正整数}有原式成立,即1+（k/2)≤1+(1/2)+(1/3)+······+(1/2^k)≤(1/2)+k；当N=k+1时,有1+(1/2)+(1/3)+······+[1/2^（k+1）]=1+(1/2)+(1/3)+······+(1/2^k)+{(1/2^k+1)+(1/2^k+2)······+[1/2^（k+1）]}；欲证明当N=k+1也成立,即要证明1/2≤{(1/2^k+1)+(1/2^k+2)······+[1/2^（k+1）]}≤1.现在分析{(1/2^k+1)+(1/2^k+2)······+[1/2^（k+1）]}的大小,显然每一项小于1/2^k,且大于1/2^（k+1）（最后一项等于）,故小于1/2^k+·····1/2^k=2^k/2^k=1【一共有2^k项】,大于1/2^（k+1）+·····1/2^（k+1）=2^k/2^（k+1）=1/2.即有1/2≤{(1/2^k+1)+(1/2^k+2)······+[1/2^（k+1）]}≤1,代入当N=k的式子中,有1+（k+1）/2≤1+(1/2)+(1/3)+······+1/2^（k+1）≤(1/2)+k+1,即当N=k+1时也成立,综上所诉,对于n∈正整数都有1+（n/2)≤1+(1/2)+(1/3)+······+(1/2^n)≤(1/2)+n成立,证毕.这是我第一次回答问题,