G(x)=lnf(x)的高阶导数如何将G的高阶导数表示为f(x)的导数?比如:G'=f'/f或用G的较低阶表示G的高阶,比如:G''=f''/f-G'^2是否有通项公式或递推公式?

Question

G(x) = ln f(x) 的高阶导数
如何将G的高阶导数表示为f(x)的导数?比如:G' = f'/f
或用G的较低阶表示G的高阶,比如:G''=f''/f - G'^2
是否有通项公式或递推公式?

Answer 1

G'=f'/f,
fG'=f',
f^(n+1)=[f']^(n)=[fG']^(n)=Sum(k=0->n)n!f^(k)[G']^(n-k)/[k!(n-k)!]
=Sum(k=0->n)n!f^(k)G^(n-k+1)/[k!(n-k)!],
=fG^(n+1)+Sum(k=1->n)n!f^(k)G^(n-k+1)/[k!(n-k)!],
G^(1)=G'=f'/f.
G^(n+1)=(1/f){f^(n+1)-Sum(k=1->n)n!f^(k)G^(n-k+1)/[k!(n-k)!]},n=1,2,...