给数列递推公式求闭公式f(n)=(5*f(n-1)-6*f(n-2))mod2005f(0)=1;f(1)=0;求此数列的闭公式.如果不好求那麻烦求出此数列有何规律.此题我用程序测试过,是200个一循环,.具体为什么这样,有人知道吗

Question

给数列递推公式求闭公式
f(n)=(5*f(n-1)-6*f(n-2)) mod 2005
f(0)=1;
f(1)=0;
求此数列的闭公式.如果不好求那麻烦求出此数列有何规律.
此题我用程序测试过,是200个一循环,.具体为什么这样,有人知道吗

Answer 1

不知你学过特征方程没有?这题如果能用特征方程解的话还挺容易的：
1.设g(n)=5*g(n-1)-6*g(n-2)
2.上式略变形得：g(n)-5*g(n-1)+6*g(n-2)=0
gn的特征方程：x^2-5x+6=0,求解得特征根2和3
3.设C1和C2是两个常数,由特征根得gn的表达式：
g(n)=C1*2^n+C2*3^n,再将g0＝1,g1＝0代入得二元一次方程组：
C1*1+C2*1=1
C1*2+C2*3=0
解得C1＝3,C2=-2
从而得Gn＝3*2^n－2*3^n
4.从而得通项：f(n)=(3*2^n－2*3^n) mod 2005
之所以200一循环,我猜想是因为n=200时,f(n)第一次能被2500整除,此后每当n又递增200,f(n)必然能分解出f(200)的因子,从而能被2500整除,于是就在200处往复循环了