已知△ABC的三边a，b，c的倒数成等差数列，试分别用综合法和分析法证明：B为锐角．

Question

已知△ABC的三边a，b，c的倒数成等差数列，试分别用综合法和分析法证明：B为锐角．

Answer 1

分析法：欲证∠B为锐角，即证cosB>0，
即证(a2+c2-b2)/(2ac)>0，
即证：a²+c²>b²，
由于(2)/(b)=(1)/(a)+(1)/(c)，
即证a²+c²>（(2ac)/(a+c)）²，
即证（a²+c²）（a+c）²>4a²c²，
考虑到a²+c²≥2ac，（a+c）²≥4ac，
所以（a²+c²）（a+c）²≥8a²c²>4a²c²，
所以∠B为锐角
综合法：∵(2)/(b)=(1)/(a)+(1)/(c)，
∴a²+c²≥2ac，（a+c）²≥4ac，
∴（a²+c²）（a+c）²≥8a²c²>4a²c²，
∴a²+c²>（(2ac)/(a+c)）²，
又∵(2)/(b)=(1)/(a)+(1)/(c)，
∴a²+c²>b²，
即cosB>0，
∴∠B为锐角