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设a>0,b>0,分别用综合法与分析法求证:a3+b3≥a2b+ab2.
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设a>0,b>0,分别用综合法与分析法求证:a3+b3≥a2b+ab2.
▼优质解答
答案和解析
证明:(1)综合法:
∵a>0,b>0,∴a+b>0,(a-b)2≥0.
∴(a-b)2(a+b)≥0.即(a2-b2)(a-b)≥0.
∴a3-a2b-ab2+b3≥0,
∴a3+b3≥a2b+ab2.
(2)分析法:
欲证a3+b3≥a2b+ab2,
只需证:a3+b3-(a2b+ab2)≥0,
只需证:(a-b)(a2-b2)≥0,
即证(a-b)2(a+b)≥0.
显然上式成立,
∴a3+b3≥a2b+ab2.
∵a>0,b>0,∴a+b>0,(a-b)2≥0.
∴(a-b)2(a+b)≥0.即(a2-b2)(a-b)≥0.
∴a3-a2b-ab2+b3≥0,
∴a3+b3≥a2b+ab2.
(2)分析法:
欲证a3+b3≥a2b+ab2,
只需证:a3+b3-(a2b+ab2)≥0,
只需证:(a-b)(a2-b2)≥0,
即证(a-b)2(a+b)≥0.
显然上式成立,
∴a3+b3≥a2b+ab2.
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