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课本小结与复习的参考例题中,给大家分别用“综合法”,“比较法”和“分析法”证明了不等式:已知a,b,c,d都是实数,且a2+b2=1,c2+d2=1,则|ac+bd|≤1.这就是著名的柯西(Cau

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课本小结与复习的参考例题中,给大家分别用“综合法”,“比较法”和“分析法”证明了不等式:已知a,b,c,d都是实数,且a 2 +b 2 =1,c 2 +d 2 =1,则|ac+bd|≤1.这就是著名的柯西(Cauchy.法国)不等式当n=2时的特例,即(ac+bd) 2 ≤(a 2 +b 2 )(c 2 +d 2 ),等号当且仅当ad=bc时成立.
请分别用中文语言和数学语言简洁地叙述柯西不等式,并用一种方法加以证明.
▼优质解答
答案和解析
数学语言简洁地叙述柯西不等式:
a,b,c,d∈R,有:(ac+bd) 2 ≤(a 2 +b 2 )(c 2 +d 2 ),等号当且仅当ad=bc时成立;
中文语言简洁地叙述柯西不等式:
两个实数的平方和的积 不小于它们积的和的平方.取等号的条件是两列数对应成比例.
二维形式的证明:(a 2 +b 2 )(c 2 +d 2 )(a,b,c,d∈R)=a 2 •c 2 +b 2 •d 2 +a 2 •d 2 +b 2 •c 2
=a 2 •c 2 +2abcd+b 2 •d 2 +a 2 •d 2 -2abcd+b 2 •c 2
=(ac+bd) 2 +(ad-bc) 2 2≥(ac+bd) 2
等号在且仅在ad-bc=0即ad=bc时成立.

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