已知函数f（x）=ex-ax（a∈R）．（1）讨论函数的单调性；（2）若对任意的实数x，恒有f（x）≥0，请比较ea与ae的大小．

Question

已知函数f（x）=e^x-ax（a∈R）．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若对任意的实数x，恒有f（x）≥0，请比较e^a与a^e的大小．

Answer 1

（1）由f′（x）=e^x-a，
①当a≤0时，显然f′（x）=e^x-a≥0；
②当a>0时，由f′（x）=0得x=lna，显然当x>lna时，f′（x）>0；
∴当a≤0时，f（x）在R上单调递增；当a>0时，f（x）在（lna，+∞）上递增，在（-∞，lna）上递减；
（2）∵对任意的实数x，恒有f（x）≥0，
∴e^x-ax≥0，
x=0，a∈R；
x>0，a≤(ex)/(x)，令m（x）=(ex)/(x)，则m′（x）=(ex(x-1))/(x2)，m（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
∴m（x）_min=m（1）=e，∴a≤e；
x<0，a≥(ex)/(x)，令g（x）=(ex)/(x)，则g′（x）=(ex(x-1))/(x2)，g（x）在（-∞，0）上单调递减，无最大值，不成立．
∴a≤e．
构造函数h（x）=x-elnx，则h′（x）=1-(e)/(x)，
由h′（x）=0，解得x=e，
当0<x<e时，h′（x）<0，此时函数单调递减，
∴h（a）≥h（e）=0，
即h（a）=a-elna≥0，
即a≥elna，即e^a≥a^e．