判断函数y=x+4x在（0，2]、[2，+∞）上的单调性．

Question

判断函数y=x+(4)/(x)在（0，2]、[2，+∞）上的单调性．

Answer 1

设0＜x₁＜x₂，
则 y₁-y₂
=（x₁+(4)/(x1)）-（x₂+(4)/(x2)）
=（x₁-x₂）+（(4)/(x1)-(4)/(x2)）
=（x₁-x₂）+[(4(x2−x1))/(x1x2)]
=（x₁-x₂）[1-（(4)/(x1x2)）]
（1）假如0＜x₁＜x₂＜2，则 0＜x₁x₂＜4，(4)/(x1x2)＞1，1-(4)/(x1x2)＜0，
x₁-x₂＜0，
所以，y₁-y₂＞0，y₁＞y₂，函数单调递减
（2）假如2＜x₁＜x₂，则 x₁x₂＞4，(4)/(x1x2)＜1，1-(4)/(x1x2)＞0，
又x₁-x₂＜0，
所以，y₁-y₂＜0，y₁＜y₂，函数单调递增
所以函数在（0，2）内单调递减；在[2，+∞）内单调递增．