己知：f（x）=lnx-ax+1，（1）当a=1时，求证：f（x）≤0（2）当a∈R时，讨论函数的单调性．

Question

己知：f（x）=lnx-ax+1，
（1）当a=1时，求证：f（x）≤0
（2）当a∈R时，讨论函数的单调性．

Answer 1

（1）证明：当a=1时，f（x）=lnx-x+1，（x＞0）．
f′（x）=(1)/(x)−1=(1−x)/(x)，令f′（x）=0，解得x=1．
令f′（x）＞0，解得0＜x＜1，此时函数f（x）单调递增；令f′（x）＜0，解得1＜x，此时函数f（x）单调递减．
∴当x=1时，函数f（x）取得极大值，即最大值，f（1）=0．
∴f（x）≤f（1）=0．
（2）f′（x）=(1)/(x)-a，（x＞0）．
当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）单调递增；
当a＞0时，f′（x）=(−a(x−(1)/(a)))/(x)，
令f′（x）＞0，解得0＜x＜(1)/(a)；令f′（x）＜0，解得x＞(1)/(a)．
∴函数f（x）的单调递增区间为(0，(1)/(a))，单调递减为((1)/(a)，+∞)．
综上可得：当a≤0时，函数f（x）在（0，+∞）单调递增；
当a＞0时，函数f（x）的单调递增区间为(0，(1)/(a))，单调递减为((1)/(a)，+∞)．