设函数=（为自然对数的底数），，记．（1）为的导函数，判断函数的单调性，并加以证明；（2）若函数=0有两个零点，求实数的取值范围．

Question

设函数 = （ 为自然对数的底数）， ，记 ．
（1） 为 的导函数，判断函数 的单调性，并加以证明；
（2）若函数 =0有两个零点，求实数 的取值范围．

Answer 1

设函数 = （ 为自然对数的底数）， ，记 ．
（1） 为 的导函数，判断函数 的单调性，并加以证明；
（2）若函数 =0有两个零点，求实数 的取值范围．

（1） 在 上单调递增．（2）实数a的取值范围是（0，2）。

试题分析：（1） ，∴ ，
令 ，则 ，
∴ 在 上单调递增，即 在 上单调递增．
（2）由（1）知 在 上单调递增，而 ，
∴ 有唯一解 ，
的变化情况如下表所示：

x		0
	－	0	＋
	递减	极小值	递增

 
又∵函数 有两个零点，
∴方程 有两个根，即方程 有两个根 
而 ， ，
解得 ．
所以，若函数 有两个零点，实数a的取值范围是（0，2）
点评：中档题，利用导数研究函数单调区间，进一步判断函数零点情况，提供了解答此类问题的一般方法。