证明xlnx+ylny>(x+y)ln[(x+y)/2],不能用凸函数法和导数,单调性证明,要初等数学中的方法条件是x,y大于0,且不相等

Question

证明xlnx+ylny>(x+y)ln[(x+y)/2],不能用凸函数法和导数,单调性证明,要初等数学中的方法
条件是x,y大于0,且不相等

Answer 1

xlnx+ylny-xln(x+y)-yln(x+y)-(x+y)ln(1/2)
=xln[x/(x+y)]+yln[y/(x+y)]-(x+y)ln(1/2)
=-xln(1+y/x)-yln(1+x/y)-(x+y)ln(1/2)
=-x[ln(1+y/x)+y/xln(1+z/y)-(1+y/x)ln2]
令y/x=t
即证
ln(1+t)+tln(1+1/t)-(1+t)ln2x,即t>1
构造f(t)=ln(1+t)+tln(1+1/t)-(1+t)ln2
求导f'(t)=ln(1+t)-lnt-ln2=ln(1+1/t)-ln20
求一阶导不算犯规吧?
要纯构造也行,不过非常麻烦.
不好意思,疏忽了,那儿是f(1)