已知定义在R上的函数f（x）对任意实数x、y恒有f（x）+f（y）=f（x+y），且当x＞0时，f（x）＜0，又f（1）=−23．（1）求证f（x）为奇函数；（2）求证：f（x）为R上的减函数；（3）解关于x的不

Question

已知定义在R上的函数f（x）对任意实数x、y恒有f（x）+f（y）=f（x+y），且当x＞0时，f（x）＜0，又f（1）=−(2)/(3)．
（1）求证f（x）为奇函数；
（2）求证：f（x）为R上的减函数；
（3）解关于x的不等式：(1)/(2)f(2bx)−f(x)＞(1)/(2)f(bx)−f(b)．（其中b＞2）

Answer 1

（1）由题意，在f（x）+f（y）=f（x+y）中令x=y=0可得f（0）+f（0）=f（0），解得f（0）=0
再令y=-x，得到f（x）+f（-x）=f（0）=0
所以函数是奇函数
（2）令x₁＜x₂，则x₂=x₁+x₂-x₁，x₂-x₁＞0
所以f（x₁）+f（x₂-x₁）=f（x₂），
又x＞0时，f（x）＜0
所以f（x₂-x₁）＜0
所以f（x₁）＞f（x₂），即f（x）为R上的减函数
 （3）不等式(1)/(2)f(2bx)−f(x)＞(1)/(2)f(bx)−f(b)⇔f(bx)+f(b)＞f((1)/(2)bx)+f(x)⇔f(bx+b)＞f((1)/(2)bx+x)
又f（x）为R上的减函数
所以bx+b＜(1)/(2)bx+x，整理得（b-2）x＜-2b，又b＞2，即b-2＞0
解得x＜(−2b)/(b−2)．