若f（x）=-12（x-2）2+blnx在（1，+∞）上是减函数，则b的取值范围是．

Question

若f（x）=-(1)/(2)（x-2）²+blnx在（1，+∞）上是减函数，则b的取值范围是______．

Answer 1

∵f（x）=-(1)/(2)（x-2）²+blnx，定义域为（0，+∞），
∴f′（x）=-（x-2）+(b)/(x)=(−x2+2x+b)/(x)，
∵f（x）=-(1)/(2)（x-2）²+blnx在（1，+∞）上是减函数，
∴f′（x）=(−x2+2x+b)/(x)≤0在x∈（1，+∞）上恒成立，
∴-x²+2x+b≤0在x∈（1，+∞）上恒成立，
即b≤x²-2x=（x-1）²-1
所以b≤-1．
即b的范围为（-∞-1]
故答案为：（-∞-1]