设f（x）在闭区间[0，2]上满足|f（x）|≤1，以及|f″（x）|≤1，则在[0，2]上|f′（x）|≤2．

Question

设f（x）在闭区间[0，2]上满足|f（x）|≤1，以及|f″（x）|≤1，则在[0，2]上|f′（x）|≤2．

Answer 1

因为|f′（x）|在[0，2]上连续，故|f′（x）|在某一点x₀处取得最大值M=|f′（x₀）|．
将f（0）与f（2）在点x₀处泰勒展开可得，
f（0）=f（x₀）+f′（x₀）（0-x₀）+(1)/(2)f″(ξ1)(0-x0)2，ξ₁∈（0，x₀），①
f（2）=f（x₀）+f′（x₀）（2-x₀）+(1)/(2)f″(ξ2)(2-x0)2，ξ₂∈（x₀，2）．②
②-①可得，
f（2）-f（0）=2f′（x₀）+(1)/(2)f″(ξ2)(2-x0)2-(1)/(2)f″(ξ1)(0-x0)2，
即：f′（x₀）=(1)/(2)(f(2)-f(0))-(1)/(4)f″(ξ2)(2-x0)2+(1)/(4)f″(ξ1)(0-x0)2．
因为|f（x）|≤1，|f″（x）|≤1，
所以|f′（x₀）|≤(1)/(2)(|f(2)|+|f(0)|)+(1)/(4)|f″(ξ1)|x02+(1)/(4)|f″(ξ2)|(2-x0)2
≤1+(1)/(4)[x02+(2-x0)2]
≤2．