如果函数f(x)同时满足下列条件：①在闭区间[a，b]内连续，②在开区间(a，b)内可导且其导函数为f′(x)，那么在区间(a，b)内至少存在一点ξ(a<ξ<b)，使得f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a)成立，我们把这

Question

如果函数f(x)同时满足下列条件：①在闭区间[a，b]内连续，②在开区间(a，b)内可导且其导函数为f′(x)，那么在区间(a，b)内至少存在一点ξ(a<ξ<b)，使得f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a)成立，我们把这一规律称为函数f(x)在区间(a，b)内具有“Lg”性质，并把其中的ξ称为中值．有下列命题：
①若函数f(x)在(a，b)具有“Lg”性质，ξ为中值，点A(a，f(a))，B(b，f(b))，则直线AB的斜率为f′(ξ)；
②函数在(0，2)内具有“Lg”性质，且中值，；
③函数在(-1，2)内具有“Lg”性质，但中值ξ不唯一；
④若定义在[a，b]内的连续函数f(x)对任意的x1、x2∈[a，b]，x1<x2，有恒成立，则函数f(x)在(a，b)内具有“Lg”性质，且必有中值．
其中你认为正确的所有命题序号是____.

Answer 1

【分析】对每一个命题进行逐一判定是否满足函数f(x)在区间(a，b)内具有“Lg”性质，对于①根据导函数的几何意义进行判定，对于②，函数y在(0，2)上连续且可导，代值计算可得两端点连线的斜率存在x=时的导数值与之相等，对于③，举反例进行判定即可，对于④，只能保证f(x)是上凸函数，不能保证中值一定在中点处进行判定．

对于①，根据导函数的几何意义立即可得正确；
对于②，函数y在(0，2)上连续且可导，代值计算可得两端点连线的斜率为-，
又y'=，当x=时，y'=-，故②正确；
对于③，两端点连线斜率为3，
而f'(x)=3x²，令3x²=3，x=±1，在(-1，2)内只有一个中值ξ=1，故③错误；
对于④，[f(x₁)+f(x₂)]<f()只能保证f(x)是上凸函数，不能保证中值一定在中点处，④错误，
故正确的所有命题序号为①②.

【点评】本题题意比较新颖，主要考查了导数的几何意义，以及函数恒成立问题和直线的斜率，属于中档题．