关于幂函数的一个问题y=x^阿尔法如果这个幂函数是偶函数,则阿尔法要有什么要求?如果这个幂函数与x轴无交点,则阿尔法有什么要求?

Question

关于幂函数的一个问题
y=x^阿尔法
如果这个幂函数是偶函数,则阿尔法要有什么要求?
如果这个幂函数与x轴无交点,则阿尔法有什么要求?

Answer 1

令f(x)=y=x^α
偶函数定义:f(-x)=f(x)
f(-x)=(-x)^α=(-1)^α×x^α
f(x)=x^α
∴f(x)=f(-x),即(-1)^α×x^α=x^α,即x^α[(-1)^α-1]=0
∴(-1)^α-1=0,即(-1)^α=1
∴α为正偶数或者0 //注:如果α=0,则定义域中x≠0
当α>0时,f(0)=0^α=0,所以f(x)必与x轴有交点,舍去.
当α=0时,f(x)=x^0=1,所以f(x)与x轴无交点.//注:这里x≠0
当α