什么叫做幂函数?

Question

什么叫做幂函数?

Answer 1

定义：
　　形如y=x^a(a为常数）的函数,即以底数为自变量 幂为因变量,指数为常量的函数称为幂函数.　　当a取非零的有理数时是比较容易理解的,而对于a取无理数时,初学者则不大容易理解了.因此,在初等函数里,我们不要求掌握指数为无理数的问题,只需接受它作为一个已知事实即可,因为这涉及到实数连续统的极为深刻的知识
特性
　　对于a的取值为非零有理数,有必要分成几种情况来讨论各自的特性：　　首先我们知道如果a=p/q,且p/q为既约分数（即p、q互质）,q和p都是整数,则x^(p/q)=q次根号下（x的p次方）,如果q是奇数,函数的定义域是R,如果q是偶数,函数的定义域是[0,+∞）.当指数a是负整数时,设a=-k,则y=1/(x^k),显然x≠0,函数的定义域是（－∞,0)∪(0,+∞).因此可以看到x所受到的限制来源于两点,一是有可能作为分母而不能是0,一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数,那么我们就可以知道：　　a小于0时,x不等于0； 　　a的分母为偶数时,x不小于0； 　　a的分母为奇数时,x取R.