y=1/x有反函数吗

Question

y=1/x有反函数吗

Answer 1

有.
“为什么有?”“唯一吗?”这两个问题非常容易出错.
1.为什么有?
因为从y=1/x中解出x=1/y,x与y仍然构成函数关系,即任何一个y值只有一个x值与之对应.所以y=1/x存在反函数y=1/x.
说“因为定义域上单调才有反函数”,对y=1/x而言是错误的.其原因y=1/x在定义域上“分段”单调.即在（-∞,0）和（0,+∞）上“分别”是减函数.
结论：“单调函数”是“存在反函数”的充分非必要条件.
2.“此函数是唯一的反函数为其本身的函数”吗?
我们看到原函数y=1/x的反函数是它本身.
这样的函数是唯一的吗?
当然不是.
反函数为其本身的函数有无数个.
如y=x,y=x (x>1),……
几何意义：只要函数图象以y=x为对称轴,这个函数的反函数是它本身.（充要条件）
由此,我们得到一个非常有用的结论,它能把几何问题转化为代数问题来证.
结论：要证明一个函数的图象关于y=x对称,只要证明这个函数的反函数是它本身就行了.