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求教!平面点集E中任意亮点间的距离均大于1,则E是可数集.
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求教!平面点集E中任意亮点间的距离均大于1,则E是可数集.
▼优质解答
答案和解析
令S=Q^2是所有有理点的集合,S可数.做映射f:E -> S 如下：
任意E中的点p,做一个以p为中心,1/2为半径的圆C.因为有理点稠密,所以在这圆中存在有理点q.令f(p)=q
由假设,这些圆互不相交.所以f是单射.所以f是E到f(E)的一一映射.而f(E)是S的子集,可数.
任意E中的点p,做一个以p为中心,1/2为半径的圆C.因为有理点稠密,所以在这圆中存在有理点q.令f(p)=q
由假设,这些圆互不相交.所以f是单射.所以f是E到f(E)的一一映射.而f(E)是S的子集,可数.
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