（2014•上海模拟）如图，制图工程师要用两个同中心的边长均为4的正方形合成一个八角形图形．由对称性，图中8个三角形都是全等的三角形，设∠AA1H1=α．（1）试用α表示△AA1H1的面积；（

Question

（2014•上海模拟）如图，制图工程师要用两个同中心的边长均为4的正方形合成一个八角形图形．由对称性，图中8个三角形都是全等的三角形，设∠AA₁H₁=α．
（1）试用α表示△AA₁H₁的面积；
（2）求八角形所覆盖面积的最大值，并指出此时α的大小．

Answer 1

（1）设AH₁为x，∴x+(x)/(sinα)+(x)/(tanα)＝4，x＝(4sinα)/(sinα+cosα+1)，…（3分）
S△AA1H1＝(1)/(2)•(x2)/(tanα)＝(8sinαcosα)/((sinα+cosα+1)2)，α∈(0，(π)/(2))，…（7分）
（2）令t＝sinα+cosα∈(1，√(2)]，…（9分）
只需考虑S△AA1H1取到最大值的情况，
即为S＝(4(t2−1))/((t+1)2)＝4−(8)/(t+1)，…（11分）
当t＝√(2)，即α=45°时，S△AA1H1达到最大                       …（13分）
此时八角形所覆盖面积的最大值为64−32√(2)．                  …（14分）