如图，PA、PB、PC两两垂直，PA=PB=PC，G是△PAB的重心，E是BC上的一点，且BE=13BC，F是PB上的一点，且PF=13PB．求证：（1）GF⊥平面PBC；（2）FE⊥BC；

Question

(1)/(3)BC，F是PB上的一点，且PF=(1)/(3)PB．
求证：

（1）GF⊥平面PBC；
（2）FE⊥BC；(1)/(3)1133(1)/(3)PB．
求证：

（1）GF⊥平面PBC；
（2）FE⊥BC；(1)/(3)1133

Answer 1

证明：（1）连接BG和PG，并延长分别交PA、AB于M和D，在△PBM中，
∵PF=(1)/(3)PB，G是△PAB的重心，（4分）
∴MG=(1)/(3)BM，∴GF∥PM．又PA⊥PB，PA⊥PC，
∴PA⊥平面PBC，则GF⊥平面PBC．（7分）
（2）在EC上取一点Q使CQ=(1)/(3)BC，（9分）
连接FQ，又PF=(1)/(3)PB，
∴FQ∥PC．
∵PB=PC，
∴FB=FQ．（12分）
∵BE=(1)/(3)BC，
∴E是BQ的中点，
∴FE⊥BQ，即FE⊥BC．（14分） (1)/(3)111333PB，G是△PAB的重心，（4分）
∴MG=(1)/(3)BM，∴GF∥PM．又PA⊥PB，PA⊥PC，
∴PA⊥平面PBC，则GF⊥平面PBC．（7分）
（2）在EC上取一点Q使CQ=(1)/(3)BC，（9分）
连接FQ，又PF=(1)/(3)PB，
∴FQ∥PC．
∵PB=PC，
∴FB=FQ．（12分）
∵BE=(1)/(3)BC，
∴E是BQ的中点，
∴FE⊥BQ，即FE⊥BC．（14分） (1)/(3)111333BM，∴GF∥PM．又PA⊥PB，PA⊥PC，
∴PA⊥平面PBC，则GF⊥平面PBC．（7分）
（2）在EC上取一点Q使CQ=(1)/(3)BC，（9分）
连接FQ，又PF=(1)/(3)PB，
∴FQ∥PC．
∵PB=PC，
∴FB=FQ．（12分）
∵BE=(1)/(3)BC，
∴E是BQ的中点，
∴FE⊥BQ，即FE⊥BC．（14分） (1)/(3)111333BC，（9分）
连接FQ，又PF=(1)/(3)PB，
∴FQ∥PC．
∵PB=PC，
∴FB=FQ．（12分）
∵BE=(1)/(3)BC，
∴E是BQ的中点，
∴FE⊥BQ，即FE⊥BC．（14分） (1)/(3)111333PB，
∴FQ∥PC．
∵PB=PC，
∴FB=FQ．（12分）
∵BE=(1)/(3)BC，
∴E是BQ的中点，
∴FE⊥BQ，即FE⊥BC．（14分） (1)/(3)111333BC，
∴E是BQ的中点，
∴FE⊥BQ，即FE⊥BC．（14分）