对勾函数f(x)=ax+bx,(a>0,b>0)是一种常见的基本初等函数,为了研究对勾函数f(x)=x+4x的一些性质,例如单调性,奇偶性,最值等性质.首先通过列表法,列举了函数f(x)=x+4x在(0
对勾函数f(x)=ax+,(a>0,b>0)是一种常见的基本初等函数,为了研究对勾函数f(x)=x+的一些性质,例如单调性,奇偶性,最值等性质.首先通过列表法,列举了函数f(x)=x+在(0,+∞)上部分自变量与函数值的对应值表,如下:
x | … | 0.5 | 1 | 1.5 | 1.7 | 1.9 | 2 | 2.1 | 2.2 | 2.3 | 3 | 4 | 5 | 7 | … |
y | … | 8.5 | 5 | 4.17 | 4.05 | 4.005 | 4 | 4.005 | 4.002 | 4.04 | 4.3 | 5 | 4.8 | 7.57 | … |
请观察表中y值随x值变化的特点,完成以下的问题.
(Ⅰ)函数f(x)=x+,(x>0)在区间(0,2)上递减;函数f(x)=x+,(x>0)在区间______上递增.当x=______时,y最小=______.
(Ⅱ)证明:函数f(x)=x+(x>0)在区间(0,2)递减.
(Ⅲ)思考:函数f(x)=x+(x<0)时,有最值吗?是最大值还是最小值?(注意:第(Ⅲ)问不必说明理由,直接写答案即可)
答案和解析
(Ⅰ)由图表中数据可知函数f(x)=x+
,(x>0)在区间(4,+∞)上递增.当x=2时,y最小=4.
(Ⅱ)证明:函数f(x)=x+(x>0)在区间(0,2)递减.
设0<x1<x2<2,则f(x1)-f(x2)=x1+-x2-=(x1-x2)•,
∵0<x1<x2<2,
∴0<x1x2<4,x1-x2<0,
∴f(x1)-f(x2)=(x1-x2)•>0,
∴f(x1)>f(x2),
即函数f(x)=x+(x>0)在区间(0,2)递减.
(Ⅲ)∵f(x)=x+,
∴f(-x)=-x-=-(x+)=-f(x),
即函数f(x)是奇函数,
根据函数奇偶性的性质可知,当x<0时,函数有最大值,为f(-2)=-f(2)=-4.
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