某连续函数f(x),其导函数恒大于1,能否说明其图像上任意两点间的斜率也恒大于1.若能,为什么.且其导函数恒大于a,能否说明其图像上任意两点间的斜率也恒大于a.(a为实数）若不能,为什么.且再

Question

某连续函数f(x),其导函数恒大于1,能否说明其图像上任意两点间的斜率也恒大于1.
若能,为什么.且其导函数恒大于a,能否说明其图像上任意两点间的斜率也恒大于a.(a为实数）
若不能,为什么.且再加些什么条件才能成立.

Answer 1

设(x0,f(x0)),(x1,f(x1))是f(x) 图像上任意两点,过这两点的直线斜率为K=(f(x1)-f(x0))/(x1-x0),由拉格郎日定理存在介于x1,x0之间的c有f(x1)-f(x0)= f′(c)(x1-x0),故
K=(f(x1)-f(x0))/(x1-x0)
= f′(c)(x1)-f(x0)/(x1-x0)
= f′(c)
如果f(x)的导函数恒大于a,f′(c)>a,则K>a.其图像上任意两点间的斜率也恒大于a.