已知抛物线的焦点为F，A、B是抛物线C上异于坐标原点O的不同两点，抛物线C在点A、B处的切线分别为、，且，与相交于点D．(1)求点D的纵坐标；(2)证明：A、B、F三点共线；(3)假设点D的坐标为

Question

已知抛物线的焦点为F，A、B是抛物线C上异于坐标原点O的不同两点，抛物线C在点A、B处的切线分别为、，且，与相交于点D．
(1)求点D的纵坐标；
(2)证明：A、B、F三点共线；
(3)假设点D的坐标为，问是否存在经过A、B两点且与、都相切的圆，若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．____

Answer 1

【分析】(1)设点A、B的坐标分别为(x₁，y₁)、(x₂，y₂)，利用导数求出切线的斜率，进而求出直线l₁、l₂的方程，通过解它们联立的方程组即可求得求点D的纵坐标；
(2)欲证明：A、B、F三点共线，只须证明它们的斜率k_AF=k_BF即可，利用斜率公式结合点在抛物线上可证得；
(3)对于存在性问题，可假设存在，即假设存在符合题意的圆，设该圆的圆心为M，再分别求出点A、B的坐标，最后求出|AD|和|BD|，看是否与题设矛盾，若不矛盾，则存在，否则不存在．

(1)设点A、B的坐标分别为(x₁，y₁)、(x₂，y₂)，
∵l₁、l₂分别是抛物线C在点A、B处的切线，
∴直线l₁的斜率，直线l₂的斜率．
∵l₁⊥l₂，∴k₁k₂=-1，得x₁x₂=-p²．①(2分)
∵A、B是抛物线C上的点，
∴
∴直线l₁的方程为，直线l₂的方程为．
由解得
∴点D的纵坐标为．(4分)

(2)证：∵F为抛物线C的焦点，∴．
∴直线AF的斜率为，
直线BF的斜率为．
∵(6分)
=
=
=
=0．
∴k_AF=k_BF．
∴A、B、F三点共线．(8分)
(3)不存在．证明如下：
假设存在符合题意的圆，设该圆的圆心为M，
依题意得MA⊥AD，MB⊥BD，且|MA|=|MB|，
由l₁⊥l₂，得AD⊥BD．
∴四边形MADB是正方形．
∴|AD|=|BD|．(10分)
∵点D的坐标为，
∴，得p=2．
把点D的坐标代入直线l₁，得
解得x₁=4或x₁=-1，
∴点A的坐标为(4，4)或．
同理可求得点B的坐标为(4，4)或．
由于A、B是抛物线C上的不同两点，不妨令，B(4，4)．
∴，．(13分)
∴|AD|≠|BD|，这与|AD|=|BD|矛盾．
∴经过A、B两点且与l₁、l₂都相切的圆不存在．(14分)

【点评】直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等 突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高