如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交A（-1，0）B（3，0）两点，直线l与抛物线交于A，C两点，其中C点的横坐标为2．（1）求抛物线的解析式；（2）求直线AC的函数表达式；（3）若点M是线段AC上的点（

Question

如图，抛物线y=x²+bx+c与x轴交A（-1，0）B（3，0）两点，直线l与抛物线交于A，C两点，其中C点的横坐标为2．

（1）求抛物线的解析式；
（2）求直线AC的函数表达式；
（3）若点M是线段AC上的点（不与A，C重合），过M作MF∥y轴交抛物线于F，交x轴于点H，设点M的横坐标为m，连接FA，FC，是否存在m，使△AFC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）把A（-1，0），B（3，0）代入y=x²+bx-c，可得

0=1+b-c

0=9+3b-c

，解得

b=-2

c=-3

，
∴抛物线解析式为y=x²-2x-3；
（2）把x=2代入抛物线解析式可得y=2²-2×2-3=-3，
∴C（2，-3），
设直线AC的解析式为y=kx+s，把A、C坐标代入可得，

0=k+s

-3=2k+s

，解得

k=-1

s=-1

，
∴直线AC解析式为y=-x-1；
（3）存在m，使△AFC的面积最大．
理由如下：
∵点M在直线AC上，
∴M（m，-m-1），
∵点F在抛物线上，
∴F（m，m²-2m-3），
∵点M是线段AC上的点，
∴MF=（-m-1）-（m²-2m-3）=-m²+m+2，
∵A（-1，0），C（2，-3），
∴S_△ACF=(1)/(2)MF•[2-（-1）]=(3)/(2)MF=(3)/(2)（-m²+m+2）=-(3)/(2)（m-(1)/(2)）²+(27)/(8)，
∵-(3)/(2)<0，
∴当m=(1)/(2)时，△AFC的面积最大，最大为值为(27)/(8)．