3次方程的求根公式如题,请写出推导过程.还有,请详细介绍一下高次方程的判别式(我记得应该有几个判别式…)

Question

3次方程的求根公式
如题,请写出推导过程.还有,请详细介绍一下高次方程的判别式(我记得应该有几个判别式…)

Answer 1

1、方程x^3=1的解为x1=1,x2=-1/2+i√3/2=ω,x3=-1/2-i√3/2=ω^2 ；　　
2、方程x^3=A的解为x1=A^(1/3),x2=A^(1/3)ω,x3=A^(1/3)ω^2 ,
3、一般三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0(a≠0),两边同时除以a,可变成x^3+ax^2+bx+c=0的形式.　　再令x=y-a/3,代入可消去次高项,变成x^3+px+q=0的形式.
设x=u+v是方程x^3+px+q=0的解,代入整理得：　　(u+v)(3uv+p)+u^3+v^3+q=0 ①,　　如果u和v满足uv=-p/3,u^3+v^3=-q则①成立,
由一元二次方程韦达定理u^3和V^3是方程y^2+qy-(p/3)^3=0的两个根.
解之得,y=-q/2±((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2),
不妨设A=-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2),B=-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2),
则u^3=A；v^3=B ,
u= A^(1/3)或者A^(1/3)ω或者A^(1/3)ω^2 ；　　
v= B^(1/3)或者B^(1/3)ω或者B^(1/3)ω^2 ,
但是考虑到uv=-p/3,所以u、v只有三组
u1= A^(1/3),v1= B^(1/3)；
u2=A^(1/3)ω,v2=B^(1/3)ω^2；　　
u3=A^(1/3)ω^2,v3=B^(1/3)ω,
最后：　　方程x^3+px+q=0的三个根也出来了,即
x1=u1+v1=A^(1/3)+B^(1/3)；
x2=A^(1/3)ω+B^(1/3)ω^2；
x3=A^(1/3)ω^2+B^(1/3)ω.