∫1/√4x^2-4x+2dx用第二换元法求不定积分

Question

∫1/√4x^2-4x+2 dx用第二换元法求不定积分

Answer 1

I=∫1/√(4x^2-4x+2) dx
令t=2x-1,得到
I=0.5*∫1/√(t^2+1) dt=0.5*ln(t+√(t^2+1))+C=0.5*ln(2x-1+√((2x-1)^2+1))+C
.
注意I2=∫1/√(t^2+1) dt是常见积分,一般是要直接背出来的.实际计算上令t=tany,y在(-pi/2,pi/2),I2=∫secy dy=∫1/(1-(siny)^2) dsiny=0.5*ln((1+siny)/(1-siny))+C=0.5*ln((t+√(t^2+1))/(-t+√(t^2+1)))+C=ln(t+√(t^2+1))+C