定积分∫(0→π)√(sin∧3x-sin∧5x)dx换元法怎么做?你这里cosx有正负所以要分段，如果令sinx=t,没有发现要分段得必要呀，结果确实0，怎么回事

Question

定积分∫(0→π)√(sin∧3 x-sin∧5 x)dx换元法怎么做?
你这里cosx有正负所以要分段，如果令sinx=t,没有发现要分段得必要呀，结果确实0，怎么回事

Answer 1

原式=∫(0,π/2)√(sin∧3 x-sin∧5 x)dx+∫(π/2,π)√(sin∧3 x-sin∧5 x)dx
=∫(0,π/2)(sinx)^(3/2)cosxdx-∫(π/2,π)(sinx)^(3/2)cosxdx
=2/5(sinx)^(5/2)|[0,π/2]-2/5(sinx)^(5/2)|[π/2,π]
=4/5
这里必须分段,因为含有√[1-(sinx)^2],是求算术根,在第1象限得cosx,在第2象限,得-cosx(第2象限cosx为负）.所以必须分段.