求1/(1+sinx)的不定积分为什么不能用换元法令x=2arctant,求得的结果为－2／(tanx/2+1)+c,

Question

求1/(1+sinx)的不定积分为什么不能用换元法令x=2arctant,求得的结果为－2／(tanx/2+1)+c,

Answer 1

令u=tan(x/2),则du=(1/2)sec²(x/2)dx,得dx=2/(u²+1)du
∫1/(1+sinx)dx
=∫1/[1+2u/(u²+1)]·2u/(u²+1)du
=∫2/(u²+2u+1)du
=2∫1/(u+1)² du
=2∫1/(u+1)² d(u+1)
=-2/(u+1)+C
=-2/[tan(x/2)+1]+C
如果令x=2arctant话,因为arctanx∈（-π/2,π/2）,所以首先不能保证x∈R