李永乐数二考研400题P76的一道证明题.设A为n阶正交矩阵,证明：1,若|A|=-1,则-1是A的特征值.2,若n为基数,且|A|=1,则1是A的特征值.

Question

李永乐数二考研 400题P76的一道证明题.
设A为n阶正交矩阵,证明：
1,若|A|=-1,则-1是A的特征值.
2,若n为基数,且|A|=1,则1是A的特征值.

Answer 1

1.|A+E|=|A+AA转置|=|A(E+A转置)|=|A||E+A转置|=-|E+A转置|=-|E+A| 即|A+E|=0
2.同理可得 |A-E|=|A(E-A转置)|=|A||(-1)(A转置-E)|=(-1)n次幂|A-E|=-|A-E| |A-E|=0