观察下列各式：1=12-02，3=22-12，5=32-22，7=42-32…你能否得出结论：所所有奇数都可以表示为两个自然数的平方差？所有偶数也能表示为两个自然数的平方差吗？与同伴进行交流．

Question

观察下列各式：
1=1²-0²，
3=2²-1²，
5=3²-2²，
7=4²-3²
…
你能否得出结论：所所有奇数都可以表示为两个自然数的平方差？所有偶数也能表示为两个自然数的平方差吗？与同伴进行交流．

Answer 1

∵1=1²-0²，
3=2²-1²，
5=3²-2²，
7=4²-3²
…
∴2n-1=n²-（n-1）²，
即所有奇数都可以表示为两个自然数的平方差；
设偶数A=m²-n²（m、n均为自然数）
A=（m+n）（m-n），
m+n与m-n同奇或同偶，若要乘积为偶数，只有m+n与m-n同偶．
m、n同为偶数或同为奇数（这是因为若m、n一奇一偶，则和、差均为奇数），
m、n同为偶数时，设m=2p，n=2q （p、q均为自然数），
A=（m+n）（m-n）=（2p+2q）（2p-2q）=4（p+q）（p-q），
4是A的因子，即A能被4整除．
m、n同为奇数时，设m=2p+1，n=2q+1 （p、q均为自然数），
A=（m+n）（m-n）=（2p+1+2q+1）（2p+1-2q-1）=4（p+q+1）（p-q），
4是A的因子，即A能被4整除．
综上，只有当偶数是4的整倍数时，才有可能能表示为两个自然数的平方差（也不一定可以），是2的奇数倍时，一定不能表示为两个自然数的平方差．因此命题“所有偶数都能表示为两个自然数的平方差”是错误的．