任意三角形三边的中线的平方和与三边长度的关系?如果设三边长分别是a,b,c的话那三条中线的平方和=?

Question

任意三角形 三边的中线的平方和 与三边长度的关系?
如果 设 三边长 分别是 a,b,c的话 那 三条中线的平方和=?

Answer 1

△ABC,A、B、C三个角对应边长分别为a、b、c,过 BC 中点 D 连接中线 AD,标 AD 长度为 p
注意∠ADB + ∠ADC = 180度
应用余弦定理
cos(∠ADB) = (p^2 + a^2/4 - c^2)/(p*a) .(1)
cos(∠ADC) = (p^2 + a^2/4 - b^2)/(p*a) .(2)
(1) + (2)
2p^2 + (a^2)/2 - (b^2 + c^2) = 0
2p^2 = (b^2 + c^2) - (a^2)/2
显然,三条边同样操作得到：
三条中线平方之和等于三边平方和的四分之三倍