证明：整数被表示成两个整数平方和的充要条件是该整数的2倍也能表示成两个整数的平方和.具体过程.谢谢挨.

Question

证明：整数被表示成两个整数平方和的充要条件是该整数的2倍也能表示成两个整数的平方和.
具体过程.谢谢挨.

Answer 1

若n=x^2+y^2（n、x、y均为整数）,则2n=2x^2+2y^2=x^2+2xy+y^2+x^2-2xy+y^2=(x+y)^2+(x-y)^2.所以2n也能表示为两个整数的平方和即整数被表示成两个整数平方和的必要条件是该整数的2倍也能表示成两个整数的平方和 若2n=x^2+y^2（n、x、y均为整数）,此处,很明显2n为偶数,那么x和y应同时为奇数或同时为偶数,不可能一个为奇数、一个为偶数n=(x/2+y/2)^2+(x/2-y/2)^2,由于x和y同时为奇数或同时为偶数,那么(x+y)/2和(x-y)/2都是整数,所以n也是整数,所以n也能表示为两个整数的平方和即整数被表示成两个整数平方和的充分条件是该整数的2倍也能表示成两个整数的平方和 二者互为充要条件