n个大于等于0的数,a等于n*它们的平方和,b等于它们和的平方,a和b哪个大?为什么?

Question

n个大于等于0的数,a等于n*它们的平方和,b等于它们和的平方,a和b哪个大?为什么?

Answer 1

n个大于等于0的数,a等于n*它们的平方和,b等于它们和的平方.
则a≥b.这个用柯西不等式可以直接证明.
当然还有更基本的证明,可以用归纳法：
首先当n=2时,x1,x2为大于等于0的数,有2(x1²+x2²)≥(x1+x2)²,这一点很好证明.
然后我们假设n=k时,x1,x2...xk为大于等于0的数,有k(x1²+...+xk²)≥(x1+...+xk)²成立,
则当n=k+1时,再令x_(k+1)为大于等于0的数
(x1+...+xk+x_(k+1))²=(x1+...+xk)²+2(x1+...+xk)x_(k+1)+[x_(k+1)]²
其中2·x1·x_(k+1)≤x1²+[x_(k+1)]²
2·x2·x_(k+1)≤x2²+[x_(k+1)]²
.
2·xk·x_(k+1)≤xk²+[x_(k+1)]²
所以(x1+...+xk)²+2(x1+...+xk)x_(k+1)+[x_(k+1)]²≤(x1+...+xk)²+(x1²+...+xk²)+(k+1)[x_(k+1)]²
而由归纳假设知道k(x1²+...+xk²)≥(x1+...+xk)²
所以可得(x1+...+xk+x_(k+1))²≤k(x1²+...+xk²)+(x1²+...+xk²)+(k+1)[x_(k+1)]²
=(k+1)(x1²+...+xk²+[x_(k+1)]²)
则结论得证.▄