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是否存在一个三位数.abc（a，b，c取从1到9的自然数），使得.abc+.bca+.cab为完全平方数？
题目详情
是否存在一个三位数
（a，b，c取从1到9的自然数），使得
+
+
为完全平方数？
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| abc |
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| abc |
. |
| bca |
. |
| cab |
▼优质解答
答案和解析
假设存在，根据题意得
+
+
=100a+10b+c+100b+10c+a+100c+10a+b=111（a+b+c），
∵111=3×37，
而3、37是质数，
∴a+b+c的和中必有因数3和37，
又a，b，c取从1到9的自然数，
∴0≤a+b+c≤27，
∴a+b+c中不含因数37，
∴
+
+
不是完全平方数．
故这样的三位数不存在．
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| abc |
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| bca |
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| cab |
∵111=3×37，
而3、37是质数，
∴a+b+c的和中必有因数3和37，
又a，b，c取从1到9的自然数，
∴0≤a+b+c≤27，
∴a+b+c中不含因数37，
∴
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| abc |
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| bca |
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| cab |
故这样的三位数不存在．
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