求所有这样的自然数n，使2的8次方加2的11次方加2的n次方是一个自然数的平方

Question

求所有这样的自然数n，使2的8次方加2的11次方加2的n次方是一个自然数的平方

Answer 1

2^8+2^11+2^n=2^8[1+8+2^(n-8)]=m²为偶数 （m∈N） 2^8=16². 故9+2^(n-8)也是完全平方数 9+2^(n-8)为奇数 故9+2^(n-8) ≡1(mod4) 9≡1(mod4) 故2^(n-8) ≡0(mod4) ,n-8≥2，n≥10 设9+2^(n-8)=t² （t∈N） 2^(n-8)=t²-9=(t+3)(t-3) 由于2^(n-8)中只有因子2， 故可以设t+3=2^p, t-3=2^q (p,q∈N) q