能使2n+256是完全平方数的正整数n的值为．

Question

能使2ⁿ+256是完全平方数的正整数n的值为______．

Answer 1

当n≤8时，2ⁿ+256=2ⁿ（1+2^8-n），若它是完全平方数，则n是2的倍数．
若n=2，则2ⁿ+256=2²×65；
若n=4，则2ⁿ+256=2⁴×17；
若n=6，则2ⁿ+256=2⁶×5；
若n=8，则2ⁿ+256=2⁸×2．
所以，当n≤8时，2ⁿ+256都不是完全平方数．
当n＞8时，2ⁿ+256=2⁸（2^n-8+1），若它是完全平方数，则2^n-8+1为一奇数的平方．
设2^n-8+1=（2k+1）²（k为自然数），则2^n-10=k（k+1）．
由于k和k+1一奇一偶，
且是2的n-10次方，符合要求的只有1×2，
所以k=1，于是2^n-10=2，
故n=11．
故答案为：11．