对于任意整数n＞1，设p（n）为n的最大质因数．求所有的三个不同的正整数x，y，z，使其满足：（1）x，y，z是等差数列；（2）p（xyz）≤3．

Question

对于任意整数n＞1，设p（n）为n的最大质因数．求所有的三个不同的正整数x，y，z，使其满足：（1）x，y，z是等差数列；（2）p（xyz）≤3．

Answer 1

（x，y，z）=（k，2k，3k），（2k，3k，4k），或（2k，9k，16k），这里k=2^m•3ⁿ．
不妨设x＜y＜z．若充分求出X，Y，Z不含任何公因数k的解（X，Y，Z），则全部的解集（x，y，z）为（kX，kY，kZ），其中k=2^m•3ⁿ．
记W=Y-X，则Z=X+2W与X具有相同奇偶性．
因此X与Y必具有相异奇偶性．否则，X与Y同偶或同奇．若X与Y同偶，则X、Y、Z都是偶数，有公因数2，矛盾；若X与Y同奇，则X、Y、Z都是3的幂（含指数为0的情形）．不妨设X=3^a，Y=3^b，Z=3^c，这里0≤a＜b＜c，则3^a+3^c=2•3^b．3^a（1+3^c-a）=2•3^b，则1+3^c-a=2•3^b-a．令b-a=s，c-a=t，这里0＜s＜t，则1+3^t=2•3^s．而t≥s+1，则1+3^t≥1+3^s+1=1+3•3^s＞2•3^s，矛盾．
（1）若X是奇数，则Z是大于1的奇数，于是Z是3的幂．若X＞1，则X也是3的幂，于是Y＝(X+Z)/(2)也含3的幂．矛盾．因此X必是1．若Z=3ⁿ，则Y＝(X+Z)/(2)＝(1+(4−1)n)/(2)＝(1+(−1)n+(−1)n−1•4n+42•m)/(2)（其中4²•m表示所有含4²或其更高次项的和）．因此n是奇数，否则Y是奇数，矛盾．从而Y≡2（bmod4）．但Y是一个2的幂．这是因为Y显然不含大于3的质因数；也不含质因数3，否则不妨设Y＝(1+3n)/(2)＝3u，则1+3ⁿ=6u，矛盾．于是Y=2，Z=3．
（2）若X是偶数，则Y是奇数且是一个3的幂．若X能被3整除，则Z=2Y-X也能被3整除．矛盾．因此X必是一个2的幂．类似地，Z必是一个2的幂．若X能被4整除，则由于Z是一个2的更大的幂，它也必能被4整除．于是2W=Z-X是能被4整除，故Y=X+W能被2整除．矛盾．因此X必是2．容易验算得（X，Y，Z）=（2，3，4），（2，9，16）是它的解．Y能被27整除时无解，
证明如下：容易（虽然有点麻烦）由Z=2ⁿ⁺¹验算出Y＝(Z+X)/(2)＝2n+1≡3，5，9，17，6，11，21，14，0，26，24，20，12，23，18，8，15，2，3，(bmod27)，
其中n=1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，于是我们必有n≡9（bmod18）时，得Y能被27整除．
但2ⁿ+1≡3，5，9，17，14，8，15，10，0，18，16，12，4，7，13，6，11，2，3，（bmod19）．所以若n≡9（bmod18），则Y也能被19整除．于是Y不能是一个大于9的3的幂．