如图所示，位于竖直平面内的坐标系xOy，在其第三象限空间有正交的匀强磁场和匀强电场，匀强磁场沿水平方向且垂直于纸面向外，磁感应强度大小为B，匀强电场沿x输负方向、场强大小为E

Question

如图所示，位于竖直平面内的坐标系xOy，在其第三象限空间有正交的匀强磁场和匀强电场，匀强磁场沿水平方向且垂直于纸面向外，磁感应强度大小为B，匀强电场沿x输负方向、场强大小为E．在其第一象限空间有沿y轴负方向的、场强大小为E′=(4)/(3)E的匀强电场．个电荷量的绝对值为q的油滴从图中第三象限的P点得到一初速度，恰好能沿PO做直线运动（PO与x轴负方向的夹角为θ=37°），并从原点O进人第一象限．已知重力加速度为g，sin37°=0.6，cos37°=0.8，不计空气阻力．

（1）判断油滴的电性；
（2）求油滴在P点得到的初速度大小．
（3）在第一象限的某个长方形区域再加上一个垂直于纸面向里的、磁感应强度大小也为B的匀强磁场，且该长方形区域的下边界在x轴上，上述油滴进入第一象限后恰好垂直穿过x轴离开第一象限，求这个长方形区域的最小面积以及油滴在第一象限内运动的时间．

Answer 1

（1）如果油滴带正电荷，受力分析如图一所示．因为要保证垂直速度方向合力为零，油滴一定做减速运动，这时洛仑兹力在变化，导致垂直速度方向的力发生变化，油滴不可能做直线运动，即油滴不仅垂直速度方向合力为零，沿速度方向合力也为零；如果油滴带负电荷，如图二，则能满足以上分析，所以油滴一定带负电．
（2）油滴受三个力作用（见图二），从P到O沿直线必为匀速运动，设油滴质量为m：
根据平衡条件有：qvBsin37°=qE
mgtan37°=qE
综合前两式，得：
v=(5E)/(3B)…①
m=(4qE)/(3g)…②
（3）进入第一象限，由电场力qE′=(4)/(3)qE和重力mg=(4)/(3)qE相等，知油滴先作匀速直线运动，进入磁场区域后作匀速圆周运动，路径如三图，最后从x轴上的N点离开第一象限，图中红色长方形区域为匀强磁场最小面积；设油滴在第一象限内运动的时间包括直线运动的时间t₁和圆周运动的时间t₂．
带电油滴在磁场中运动满足：qvB=m(v2)/(R)…③
有①②③解得：R=(20E2)/(9gB2)
匀强磁场最小面积：s=R×（R+Rsinθ）=1.6R²=(640E4)/(81g2B4)
油滴在第一象限内运动的时间包括直线运动的时间t₁=(R)/(vtanθ)=(16E)/(9gB)
油滴在第一象限内做圆周运动的时间t₂=(90°+37°)/(360°)T=(127)/(360)×(2πR)/(v)=(127πE)/(135gB)
油滴在第一象限内运动的总时间：t=t₁+t₂=((240+127π)E)/(135gB)
答：（1）油滴带负电；
（2）油滴在P点得到的初速度大小v=(5E)/(3B)．
（3）这个长方形区域的最小面积为(640E4)/(81g2B4)，油滴在第一象限内运动的时间为((240+127π)E)/(135gB)．