如图所示，在平面直角坐标系xOy的第II、III象限内存在沿y轴负方向的匀强电场，场强E=50V/m；一圆心在O1点，半径R=5cm的绝缘弹性圆筒在与y轴切点O处开有小孔a，筒内有垂直纸面向里的匀强磁

Question

如图所示，在平面直角坐标系xOy的第II、III象限内存在沿y轴负方向的匀强电场，场强E=50V/m；一圆心在O₁点，半径R=5cm的绝缘弹性圆筒在与y轴切点O处开有小孔a，筒内有垂直纸面向里的匀强磁场．现从P（-10cm，-5cm）处沿与x轴正向成45°方向发射比荷q/m=2×10³C/kg的带正电粒子，粒子都恰能通过原点O沿x轴正向射出电场并进入磁场．不计粒子重力，试求：
（1）粒子在P点的发射速度v；
（2）若粒子进入圆筒后与圆筒发生四次碰撞后又恰从孔a射出磁场，已知该带电粒子每次与圆筒发生碰撞时电量和能量都不损失，求磁感应强度B的大小．（可用三角函数表示）

Answer 1

（1）粒子在电场中运动的加速度：a＝(qE)/(m)＝(q)/(m)•E＝1×105m/s2
粒子在O点时的速度为v₀，则由平抛运动的规律可得：L=v₀t=10cm
y＝(1)/(2)at2＝5cm
代入数据解得：v₀=100m/s
粒子在P点的速度：v＝√(2)v0＝100√(2)m/s
（2）带电粒子在磁场中作匀速圆周运动，qvB＝m(v20)/(r)…①
得：B＝(mv0)/(qr)…②
由于带电粒子与圆筒壁碰撞时无电量和能量损失，那么每次碰撞前后粒子速度大小不变、速度方向总是沿着圆筒半径方向，4个碰撞点与小孔a恰好将圆筒壁五等分，粒子在圆筒内的轨迹具有对称性，由5段相同的圆弧组成，设每段轨迹圆弧对应的圆心角为θ，则由几何关系可得：(r)/(R)＝tan(θ)/(2)
解得，R＝(r)/(tan(θ)/(2))…③
有两种情形符合题意（如图所示）：
Ⅰ情形1：每段轨迹圆弧对应的圆心角为：
θ＝π−(2π)/(5)＝(3π)/(5)
联立②③并代入θ值得：B＝(tan(3π)/(10))/(r)•(mv0)/(q)…④
将数据代入④式得：B1＝cot(π)/(5)T…⑤
Ⅱ情形2：每段轨迹圆弧对应的圆心角为：θ＝π−(4π)/(5)＝(π)/(5)
联立②③并代入θ值及数据得：B2＝cot(2π)/(5)T
答：（1）粒子在P点的发射速度为100√(2)m/s；
（2）若粒子进入圆筒后与圆筒发生四次碰撞后又恰从孔a射出磁场，磁感应强度B的大小为B1＝cot(π)/(5)T或B2＝cot(2π)/(5)T．