如图所示，直角坐标系xOy所决定的平面内，在平行于y轴的虚线MN右侧、y＞0的区域存在着沿y轴负方向的匀强电场；在y＜0的某区域存在方向垂直于坐标平面的圆形有界匀强磁场（图中未画出

Question

如图所示，直角坐标系xOy所决定的平面内，在平行于y轴的虚线MN右侧、y＞0的区域存在着沿y轴负方向的匀强电场；在y＜0的某区域存在方向垂直于坐标平面的圆形有界匀强磁场（图中未画出）．现有一电荷量为q、质量为m的带正电粒子从虚线MN上的P处，以平行于x轴方向的初速度v₀射人电场，并恰好从原点O处射出，射出时速度方向与x轴成60°角，此后粒子先做匀速运动，然后进入磁场．粒子从圆形有界磁场中射出时，恰好位于√轴上Q（0，一l）处，且射出时速度方向沿x轴负方向，不计带电粒子的重力．求：
（1）P、O两点间的电势差．
（2）匀强磁场的磁感应强度．
（3）圆形有界匀强磁场的最小面积．（结果用q、m、l、v₀表示）

Answer 1

粒子在点场中做类平抛运动，有v＝(v0)/(cos60°)＝2v0
设P、Q两点间电势差为U，由动能定理有：
qU＝(1)/(2)mv2−(1)/(2)mv02               
解得：U＝(3mv02)/(2q)                    
（2）粒子在y＜0的区域内运动的轨迹如图所示．
设其在匀强磁场中做匀速圆周运动的轨道半径为R，磁场的磁感应强度为B．
由题意，粒子做圆周运动的圆心一定在y轴上．
由牛顿第二定律qvB＝m(v2)/(R)
解得R＝(mv)/(qB)
由几何知道得(R)/(sin30°)+R＝l
解得R＝(l)/(3)
所以B＝(6mv0)/(ql)
（3）由题意，当以粒子进入磁场的位置和射出磁场的位置的连线作为磁场的直径时，磁场面积最小   
设磁场的最小面积为S．
由几何知道得磁场面积最小时的半径r＝Rcos30°＝(√(3))/(6)l
解得最小面积为S＝πr2＝(πl2)/(12)．
答：（1）P、O两点间的电势差为(3mv02)/(2q)．
（2）匀强磁场的磁感应强度为(6mv0)/(ql)．
（3）圆形有界匀强磁场的最小面积为(πl2)/(12)．