选做题如图所示，在平面直角坐标系xoy中，第一象限存在沿y轴负方向的匀强电场，第四象限存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度B=mv0qL．一质量为m、电荷量为q

Question

【选做题】如图所示，在平面直角坐标系xoy中，第一象限存在沿y轴负方向的匀强电场，第四象限存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度B= (mv0)/(qL) ．一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从y轴正半轴上的M点以速度v ₀ 垂直于y轴射入电场，经x轴上N点与x轴正方向成θ=60°角射入匀强磁场中，最后从y轴负半轴某一点P射出，已知M点坐标为（0，3L），不计粒子重力，求：
（1）匀强电场的电场强度和粒子到N点的速度；
（2）粒子在磁场中运动的轨道半径和粒子打在P点的坐标；
（3）粒子从进入M点运动到P点所用的总时间．

Answer 1

（1）粒子在电场中运动时做类平抛运动：水平方向匀速直线，竖直方向做初速度为零的匀加速直线运动，合速度与分速度的关系如图：

tan60°=(vy)/(vx) 则 v y =

3

v 0
v y =at=(qEt)/(m) =

3

v 0 …①
且竖直方向做初速度为零的匀加速直线运动：OM= (1)/(2) at ² = (qE)/(2m) t 2 =3L …②
由①②解得： E=(mv20)/(2qL)
v N =

v

2x

+

v

2y

=2 v 0
（2）粒子在电场中运动，竖直方向的平均速度：

.

v y

= (0+ vy)/(2) = (3)/(2) v 0 ，
所以竖直方向的位移：3L= (3)/(2) v 0 t …③
水平方向的位移：x=0N=v ₀ t…④
由③④解得：x=2

3

L
由洛伦兹力提供向心力得： qB v N =m(vN2)/(R)
则 R=(m vN)/(qB) =2L
粒子在磁场中的运动轨迹如图：
由图可以看出PN与x轴方向的30°，由于ON等于2

3

L，
则：PN= (ON)/(cos30°) =4L
PN距离恰好为半径的两倍，说明粒子正好从NP直径出第四象限
即打在y轴负半轴的坐标（0，-2L）
（3）粒子在电场中做类平抛运动，水平位移x=0N=v ₀ t=2

3

L，
解得：t= (23L)/(v0)
粒子在磁场中运动轨迹为半圆，所需的时间：t ₂ = (πR)/(vN) = (π2L)/(2 v0) = (πL)/(v0)
所以粒子的运动总时间为t _总 = (23L+πL)/(v0)
答：（1）匀强电场的电场强度为 (mv20)/(2qL) ，粒子到N点的速度为2v ₀ ；
（2）粒子在磁场中运动的轨道半径为2L，粒子打在P点的坐标为（0，-2L）；
（3）粒子从进入M点运动到P点所用的总时间为 (23L+πL)/(v0) ．