如图,在RT△ABC中,∠ABC=90以AB为直径的圆O如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,以AB为直径的圆O交AC于D,过点D的切线交BC于点E（1）求证：DE=1/2BC（2）若tanC=根号5/2DE=2,求AD的长

Question

如图,在RT△ABC中,∠ABC=90 以AB为直径的圆O
如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,以AB为直径的圆O交AC于D,过点D的切线交BC于点E
（1）求证：DE=1/2 BC
（2）若tanC=根号5/2 DE=2,求AD的长

Answer 1

证明：(1)连BD ,
AB是圆O的直径,∴BD⊥AD
因为∠ABC=90° ∴∠C=∠ADB(都是∠BAC的余角)
ED切圆O于D,∴∠ODE=90° ∴∠EDC+∠ODA=90°
OA=OD ∴∠ODA=∠OAD ∴∠EDC+∠OAD=90°
∴∠EDC=∠ABD =∠C ∴ED=EC
∠EDB=∠BAD(弦切角) ∠EBD=∠BAD(同为∠C的余角)
∴∠EDB=∠EBD ∴ED=EB
∴DE=1/2•BC
(2) 因为DE=2 ∴BC=4 tanC=√(5)/2=AB/BC
∴AB=2√(5) ∴(AC^2)=(4^2)+((2√(5))^2)
∴AC=6 (AB^2)=AD•AC ∴AD=((2√(5))^2)/6=10/3