某省去年高三200000考生英语听力考试成绩服从正态分布N（17，9），现从某校高三年级随机抽取50名考生的成绩，发现全部介于[6，30]之间，将成绩按如下方式分成6组：第1组[6，10），第2组[10

Question

某省去年高三200000考生英语听力考试成绩服从正态分布N（17，9），现从某校高三年级随机抽取50名考生的成绩，发现全部介于[6，30]之间，将成绩按如下方式分成6组：第1组[6，10），第2组[10，14），…，第6组[26，30]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．

（1）估算该校50名考生成绩的众数和中位数；
（2）求这50名考生成绩在[22，30]内的人数；
（3）从这50名考生成绩在[22，30]内的人中任意抽取2人，该2人成绩排名（从高到低）在全省前260名的人数记为X，求X的数学期望．
参考数据：
若X～N（μ，σ²），则P（μ-σ<X≤μ+σ）=0.6826，
P（μ-2σ<X≤μ+2σ）=0.9544，
P（μ-3σ<X≤μ+3σ）=0.9974．

Answer 1

（1）该校50名考生成绩的众数是(14+18)/(2)=16；
设中位数为x，则4×0.02+4×0.05+（x-14）×0.08=0.5，
解得：x=16.75，即中位数为16.75；
（2）这50名考生成绩在[22，30]内的人数4×（0.02+0.03）×50=10；
（3））∵P（17-3×3<X≤17+3×3）=0.9974，
∴P（X≥26）=0.0013，0.0013×200 000=260．
∴全省前260名的排名（从高到低） 最低是26，这50人中26分以上的有50×0.02×4=4人．
随机变量X可取0，1，2，于是
P（X=0）=(C26)/(C210)=(1)/(3)，P（X=1）=(C16C14)/(C210)=(8)/(15)，P（X=2）=(C24)/(C210)=(2)/(15)，
∴E（X）=0×(1)/(3)+1×(8)/(15)+2×(2)/(15)=(4)/(5)．