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某省去年高三200000考生英语听力考试成绩服从正态分布N(17,9),现从某校高三年级随机抽取50名考生的成绩,发现全部介于[6,30]之间,将成绩按如下方式分成6组:第1组[6,10),第2组[10
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某省去年高三200000考生英语听力考试成绩服从正态分布N(17,9),现从某校高三年级随机抽取50名考生的成绩,发现全部介于[6,30]之间,将成绩按如下方式分成6组:第1组[6,10),第2组[10,14),…,第6组[26,30],如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.

(1)估算该校50名考生成绩的众数和中位数;
(2)求这50名考生成绩在[22,30]内的人数;
(3)从这50名考生成绩在[22,30]内的人中任意抽取2人,该2人成绩排名(从高到低)在全省前260名的人数记为X,求X的数学期望.
参考数据:
若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.6826,
P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.9544,
P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.9974.

(1)估算该校50名考生成绩的众数和中位数;
(2)求这50名考生成绩在[22,30]内的人数;
(3)从这50名考生成绩在[22,30]内的人中任意抽取2人,该2人成绩排名(从高到低)在全省前260名的人数记为X,求X的数学期望.
参考数据:
若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.6826,
P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.9544,
P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.9974.
▼优质解答
答案和解析
(1)该校50名考生成绩的众数是
=16;
设中位数为x,则4×0.02+4×0.05+(x-14)×0.08=0.5,
解得:x=16.75,即中位数为16.75;
(2)这50名考生成绩在[22,30]内的人数4×(0.02+0.03)×50=10;
(3))∵P(17-3×3<X≤17+3×3)=0.9974,
∴P(X≥26)=0.0013,0.0013×200 000=260.
∴全省前260名的排名(从高到低) 最低是26,这50人中26分以上的有50×0.02×4=4人.
随机变量X可取0,1,2,于是
P(X=0)=
=
,P(X=1)=
=
,P(X=2)=
=
,
∴E(X)=0×
+1×
+2×
=
.
14+18 |
2 |
设中位数为x,则4×0.02+4×0.05+(x-14)×0.08=0.5,
解得:x=16.75,即中位数为16.75;
(2)这50名考生成绩在[22,30]内的人数4×(0.02+0.03)×50=10;
(3))∵P(17-3×3<X≤17+3×3)=0.9974,
∴P(X≥26)=0.0013,0.0013×200 000=260.
∴全省前260名的排名(从高到低) 最低是26,这50人中26分以上的有50×0.02×4=4人.
随机变量X可取0,1,2,于是
P(X=0)=
| ||
|
1 |
3 |
| ||||
|
8 |
15 |
| ||
|
2 |
15 |
∴E(X)=0×
1 |
3 |
8 |
15 |
2 |
15 |
4 |
5 |
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