求证：根号下1..2..5(其中有n-1个1,n个2).是个有理数.注:所有的数都在同一个根号下.

Question

求证：根号下1..2..5(其中有n-1个1,n个2).是个有理数.注:所有的数都在同一个根号下.

Answer 1

111...1(n-1个)
=999...9(n-1个9)/9
=[10^(n-1)-1]/9
可得：
1..2..5(其中有n-1个1,n个2)
=111...1(n-1个)*10^(n+1)+222...2(n个)*10+5
=[10^(n-1)-1]/9*10^(n+1)+2*(10^n-1)/9*10+5
=[10^2n-10^(n+1)]/9+[2*10^(n+1)-20]/9+5
=[10^2n+10^(n+1)+25]/9
={(10^n+5)/3}^2
所以：
根号下1..2..5(其中有n-1个1,n个2).
=(10^n+5)/3
即：
根号下1..2..5(其中有n-1个1,n个2).是个有理数.