设N为取值非负整数的随机变量,证明EN=Σ(n从1到∞)P(N≥n)=Σ(n从0到∞)P(N>n)

Question

设N为取值非负整数的随机变量,证明
EN= Σ(n从1到∞)P(N≥n)= Σ(n从0到∞)P(N>n)

Answer 1

注意到P(N=n)=P(N>=n)-P(N>=n+1),整个推导就很容易
E(N)= Σ(n从0到∞)nP(N=n)= Σ(n从0到∞)n[P(N>=n)-P(N>=n+1)]
=Σ(n从0到∞)[P(N>=n)-Σ(n从0到∞)nP(N>=n+1).