多位数M=a1a2a3a4...an命题p：（a1+a2+a3+a4...+an)是三的倍数,命题q:M是3的倍数.求证：p是q的充要条

Question

多位数M=a1a2a3a4...an 命题p：（a1+a2+a3+a4...+an)是三的倍数,命题q:M是3的倍数.求证：p是q的充要条

Answer 1

M=a1a2a3a4...an ＝a1×10^（n－1）+a2×10^（n－2）+...an ）
=a1×(99...9999+1）+a2×(99...999+1）+...an-1×（9+1）+an
=[(a1×99...9999+a2×99...999+...an-1×9)]+(a1+a2+a3+.an-1+an)
[(a1×99...9999+a2×99...999+...an-1×9)] mod 3=0
所以：
M mod 3=(a1+a2+a3+.an-1+an) mod 3 （同余）
所以：（a1+a2+a3+a4...+an)是三的倍数,命题q:M是3的倍数.求证：p是q的充要条件